Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC边上的一个动点，DG∥AB，延长AB到E，使BE=CD，连结DE交BC于F．
（1）求证：DF=EF；
（2）若△ABC的边长为a，BE的长为b，且a，b满足（a-5）²+b²-6b+9=0，求BF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由DG∥AB，△ABC是等边三角形，可得出△CDG是等边三角形，由BE=CD，可得BE=DG，再求出△DFG≌△EFB，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（a-5）²+b²-6b+9=0，转化为：（a-5）²+（b-3）²=0，然后根据非负数的性质可得：a=5，b=3，即BC=5，CG=3，所以BG=2，由（1）知△DFG≌△EFB，所以FG=FB=

1

2

BG=1．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠A=∠ABC=60°，
∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠A=60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD=DG，
∵BE=CD，
∴BE=DG，
∵DG∥AB，
∴∠E=∠GDF，∠EBF=∠DGF，
在△DFG与△EFB中，

∠E=∠GDF BE=DG ∠EBF=∠DGF

，
∴△DFG≌△EFB（ASA），
∴DF=FE；
（2）∵（a-5）²+b²-6b+9=0，
∴（a-5）²+（b-3）²=0，
∵（a-5）²≥0，（b-3）²≥0，
∴a-5=0，b-3=0，
∴a=5，b=3，
即BC=5，CG=3，
∴BG=2，
∵△DFG≌△EFB，
∴FG=FB=

1

2

BG=1．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，根据题意得到△CDG是等边三角形是解答此题的关键．