Question

如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P．
（1）延长BA至点E，求证：PA平分∠CAE；
（2）若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明PE=PF，即可解决问题．
（2）如图，设∠ABC=2α，∠ACD=2β；证明β=α+∠BPC，而β=

2α+∠BAC

2

，得到∠BAC=2∠BPC，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，过点P作PD⊥BD、PE⊥BE、PF⊥AC；
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF，
∴PA平分∠CAE．
（2）设∠ABC=2α，∠ACD=2β；
∵∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P，
∴β=α+∠BPC，而β=

2α+∠BAC

2

，
∴∠BAC=2∠BPC=80°，
∴∠CAP=

180°-80°

2

=50°．

点评：该题主要考查了三角形的内角和定理、外角的性质及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键．