Question

4．在Rt△OAB中，∠OAB=15°，OC为斜边上的高，且OC=1，P，Q分别为△AOC和△BOC的内心（内心为三角形三条角平分线的交点），连接PQ并延长交OB于M，则OM=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据内心的概念证明△POC∽△QBC，根据相似三角形的性质得到$\frac{PC}{CQ}$=$\frac{OB}{OA}$，证明△PCQ∽△AOB，得到∠CPQ=∠A=15°，证明△COQ≌△MOQ即可．

解答 解：∵∠AOB=90°，∠ACO=90°，
∴∠AOC=∠ABO，
∵P，Q分别为△AOC和△BOC的内心，
∴∠POC=∠QBC，∠PCO=∠BCQ=45°，
∴△POC∽△QBC，
∴$\frac{PC}{CQ}$=$\frac{OC}{BC}$，
∵$\frac{OB}{OA}$=$\frac{OC}{BC}$，
∴$\frac{PC}{CQ}$=$\frac{OB}{OA}$，又∠AOB=∠PCQ=90°，
∴△PCQ∽△AOB，
∴∠CPQ=∠A=15°，
由内心的概念可知，∠OPC=90°+$\frac{1}{2}$×15°，
∴∠OPM=90°+$\frac{1}{2}$×15°-15°，
∵∠POM=90°-$\frac{1}{2}$∠AOC=90°-$\frac{1}{2}$×75°，
∴∠PMO=45°，
在△COQ和△MOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COQ=∠MOQ}\\{∠OCQ=∠OMQ}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴△COQ≌△MOQ，
∴OM=OC=1，
故选：B．

点评 本题考查的是三角形的内接圆和内心的概念、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的内接圆和内心的概念是解题的关键．