Question

13．如图，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE⊥BE，交BD的延长线于点E，求证：BD=2AE．

Answer 1

分析 延长AE、BC交于点F，证明△AFC≌DBC，所以AF=BD，再证明△ABE≌△FBE，可得AE=EF，从而可得BD=2AE．

解答 解：延长AE、BC交于点F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∠EDA=∠CDB，
∴∠FAC=∠DBC，
在△AFC与DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠DBC}\\{AC=BC}\\{∠FCA=∠ACB}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△DBC（ASA），
∴AF=BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE与△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠FEB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD=AF=2AE，

点评 本题考查全等三角形的综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定．