如图.AB=4cm.AC⊥AB.BD⊥AB.AC=BD=3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动.同时.点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t(s)．(1)若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍.当t=1时.△ACP与△BPQ是否全等.请说明理由.并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,(2)设点Q的运动速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动，同时，点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）设点Q的运动速度为xcm/s（x≠2），是否存在实数x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，请画出示意图，将全等的三角形用符号表示出来，并直接写出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据Q和P的运动速度结合时间可得AP=1cm，DQ=2cm，进而可得BP=3，BQ=1，然后利用SAS判定△CAP≌△PBQ，根据全等三角形的性质可得∠APC=∠BQA，然后再根据直角三角形的性质可推出∠APC+∠QPB=90°，进而可得CP⊥PQ；
（2）此题要分3种情况分别讨论，①若点P在AB上，点Q在BN上，②若点P在BM上，点Q在BN上．

解答（1）V_Q=2V_P=2m/s，
∵t=1s，
∴AP=1cm，DQ=2cm，
∴BP=AB-AP=3cm，BQ=BD-DQ=1cm，
在△CAP和△PBQ中$\left\{\begin{array}{l}{AC=BP}\\{∠A=∠PBQ=90°}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠APC=∠BQA，
∵∠BQP+∠QPB=90°，
∴∠APC+∠QPB=90°，
∴∠CPQ=180°-90°=90°，
∴CP⊥PQ；

（2）若点P在AB上，点Q在BN上，
且△APC≌△BPQ，
如图 1，t=2，x=3，

若点P在AB上，点Q在BN上，
且△APC≌△BQP；

如图2：t=1，x=4，△APC≌△BQP；

如图3，若点P在BM上，点Q在BN上，t=7，x=$\frac{10}{7}$，△APC≌△BQP；
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