Question

6．把能表示为2个正整数的平方差的正整数，从小到大排成一列设为a₁，a₂…a_n，则a₁+a₂+…a₁₀₀=6999．

Answer 1

分析 根据平方差公式，可得4k=（k+1）²-（k-1）²，4k+1=（2k+1）²-（2k）²，4k+3=（2k+2）²-（2k+1）²，根据整式的加法，可得4k+（4k+1）+（4k+3）=12k+4，可得k=2，k=3，…k=33，可得答案．

解答 解：∵偶数中不是4的倍数的整数不可能是两个整数的平方差，
a₁=2²-1²=3，a₂=3²-2²=5，a₃=4²-3²=7，
∴a₁=3，a₂=5，a₃=7．
当k≥2，k为正整数，则有4k=（k+1）²-（k-1）²，
4k+1=（2k+1）²-（2k）²，
4k+3=（2k+2）²-（2k+1）²，
且4k+（4k+1）+（4k+3）=12k+4，
∴a₄+a₅+a₆=12×2+4，
a₇+a₈+a₉=12×3+4，
…
a₉₇+a₉₈+a₉₉=12×33+4，
a₁₀₀=4×34，
则a₁+a₂+…+a₁₀₀=3+5+7+12（2+3+…+33）+4×32+4×34=6999，
故答案为：6999．

点评 本题考查了平方差公式，利用平方差公式得出k≥2，k为正整数，则有4k=（k+1）²-（k-1）²，4k+1=（2k+1）²-（2k）²，4k+3=（2k+2）²-（2k+1）²，且4k+（4k+1）+（4k+3）=12k+4是解题关键．