Question

17．直线y=$\frac{4}{3}x$与抛物线y=（x-3）²-4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD=CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+$\frac{3}{5}$CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，$\frac{23}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的解析式可得出抛物线对称轴为x=3，将x=3代入直线AB的解析式中即可求出点C的坐标；由抛物线的解析式表示出顶点坐标，结合两点间的距离公式即可得出CD的长度；
（2）将直线解析式代入抛物线解析式中，得出关于x的二元一次方程，由求根公式找出x值中较大的数，令其为t，变换等式即可得出结论；
（3）①借用（2）的结论，利用CD=CB得出关于m的一元二次方程，解方程得出m的值代入原方程进行验证即可确定m的结果，在将m代入t关于m的解析式中即可得出B点的横坐标，由点B在直线y=$\frac{4}{3}$x上即可得出B点坐标；②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M，通过三角形内两边之和大于第三边找出点F的位置，再结合两直线垂直，斜率之积为-1找出B′M的解析式，结合对称轴为x=3即可得出结论．

解答 解：（1）抛物线y=（x-3）²-4m+3的对称轴为x=3，
令x=3，则有y=$\frac{4}{3}$×3=4，
即点C的坐标为（3，4）．
抛物线y=（x-3）²-4m+3的顶点D的坐标为（3，-4m+3），
∵点D在点C的下方，
∴CD=4-（-4m+3）=4m+1．
（2）∵点B在直线y=$\frac{4}{3}x$上，且其横坐标为t，
则点B的坐标为（t，$\frac{4}{3}$t），
将点B的坐标代入抛物线y=（x-3）²-4m+3中，
得：$\frac{4}{3}$t=（t-3）²-4m+3，
整理，得：m=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{11}{6}$t+3．
（3）①依照题意画出图形，如图1所示．

过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．
∵直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
∴BE=$\frac{4}{3}$CE，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{5}{3}$CE．
∵CD=CB，
∴有4m+1=$\frac{5}{3}$（t-3）=$\frac{5}{3}$（$\frac{11}{3}$+$\sqrt{\frac{13}{9}+4m}$-3），
解得：m=-4，或m=1．
当m=-4时，$\frac{13}{9}$+4×（-4）=-$\frac{131}{9}$＜0，不合适，
∴m=1，
此时t=$\frac{11}{3}$+$\sqrt{\frac{13}{9}+4}$=6，
y=$\frac{4}{3}$×6=8．
故此时点B的坐标为（6，8）．
②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M．

∵直线BC的解析式为y=$\frac{4}{3}$，FM⊥BC，
∴tan∠FCM=$\frac{1}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠FCM=$\frac{FM}{FC}=\frac{3}{5}$．
∵B、B′关于对称轴对称，
∴BF=B′F，
∴BF+$\frac{3}{5}$CF=B′F+FM．
当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．
∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x=3，
∴B′点的坐标为（0，8）．
又∵B′M⊥BC，
∴直线B′M的斜率为$\frac{-1}{\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直线B′M的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+8，
当x=3时，有y=-$\frac{3}{4}$×3+8=$\frac{23}{4}$．
即此时点F的坐标为（3，$\frac{23}{4}$）．
故答案为：（3，$\frac{23}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的求根公式、解直角三角形以及解无理方程，解题的关键是：（1）根据二次函数的解析式找出其对称轴及顶点坐标；（2）由求根公式得出t；（3）①得出关于m的无理方程；②寻到点F的位置．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度不小，①中涉及到了解无理方程，产生了增根需要去验证；②寻找F点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点F的位置．