Question

3．如图，一次函数y=k₁+b与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象交于A（1，4），B（2，n）两点
（1）求反比例函数的解析式及直线AB的解析式；
（2）在直角坐标系内取一点C，使点C与点B关于原点对称，连接AC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，最后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（3）根据S_△ABC=2S_△AOB=2（S_△AOD-S_△BOD）利用待定系数法即可求解．

解答 解：（1）把A（1，4）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$
得 k2=xy=1×4=4，
∴y=$\frac{4}{x}$，
把B（2，n）代入y=$\frac{4}{x}$得，
n=$\frac{4}{2}$=2
∴B（2，2）
把A（1，4），B（2，2）代入y=k₁x+b得
$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}+b=4}\\{2{k}_{1}+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式是y=-2x+6；
（2）设直线AB交x轴于点D，则D（3，0），
∵B和C关于原点对称，
∴OB=OC．
∴S_△ABC=2S_△AOB=2（S_△AOD-S_△BOD）=2（$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×3×2）=6．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，以及反比例函数与一次函数图象的交点，求出解析式是关键．