Question

3．如图△ABC，△DMN中∠A=∠MDN=90°，AB=AC=4，D为BC边中点，绕D点转动△DMN．使得DM与线段AB交于E点（不与A、B重合），DN边与线段AC交于F点
（1）求证：DE=DF；
（2）△DMN转动过程中，判断四边形AEDF的面积是否变化？若不变，请说明理由；
（3）△DMN转动过程中，判断△DEF的面积有没有最大或最小值？若有求出此时的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由等腰直角三角形的性质和已知条件证出∠ADE=∠CDF．由ASA证明△AED≌△CFD，得出对应边相等即可；
（2）由（1）得：△AED≌△CFD，同理：△BDE≌△ADF，即可得出四边形AEDF的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积；
（3）当点E与点A或B重合时，△DEF的面积最大，△DEF面积的最大值=△ABD的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=4；当E为AB的中点时，△DEF的面积最小，△DEF面积的最小值=$\frac{1}{4}$△ABC的面积=2．

解答 （1）证明：连接AD，如图所示：
∵Rt△ABC中，AB=AC=4，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠ADE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴DE=DF；
（2）解：四边形AEDF的面积不发生变化，四边形AEDF的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积；理由如下：
由（1）得：△AED≌△CFD，
同理：△BDE≌△ADF，
∴四边形AEDF的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积；
（3）解：△DMN转动过程中，△DEF的面积有最大或最小值；理由如下：
当点E与点A或B重合时，△DEF的面积最大，
△DEF面积的最大值=△ABD的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4；
当E为AB的中点时，△DEF的面积最小，
△DEF面积的最小值=$\frac{1}{4}$△ABC的面积=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质，本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．