Question

11．如图，P为正方形ABCD的边BC上一点，AK平分∠PAD交CD于点K，证明：AP=BP+DK．

Answer 1

分析 将△ADK绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，只要证明∠PAM=∠M就可以得到PA=PM=PB+BM=DK+PB．

解答 证明：将△ADK绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，DC∥AB，
∵∠ABM=∠ABP=90°，
∴P、B、M三点共线，
∵AK平分∠DAP，
∴∠DAK=∠KAP=∠MAB，
∵DC∥AB，
∴∠DKA=∠KAB=∠KAP+∠PAB=∠BAM+∠PAB=∠PAM，
∵∠DKA=∠M，
∴∠PAM=∠M，
∴PA=PM=PB+BM，
∵DK=BM，
∴AP=DK+PB．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，利用旋转添加辅助线是解决问题的关键．