Question

8．如图1，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，AE、CD交于点F．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）过A作AG⊥CD于G，求证：AF=2FG；
（3）如图2，若BF⊥AF，求$\frac{CF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明．
（2）由∠AFG=∠CAF+∠ACF可以证明∠AFG=60°，在RT△AFG中利用30度性质即可证明．
（3）如图2中，延长FD到M，使得∠FAM=60°，连接BM得等边三角形△AFM，利用△CAF≌△BAM得CF=BM，再证明∠FBM=90°就可以了．

解答 （1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACE=∠B=60°，
在△ACE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACE=∠B}\\{CE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE=∠BCD，
∵∠AFG=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90°
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG．
（3）如图2中，延长FD到M，使得∠FAM=60°，连接BM．
∵∠AFM=∠FAM=∠AMF=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴AF=FM=AM，
∵∠CAB=∠FAM=60°，
∴∠CAF=∠MAB，
在△CAF和△BAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAF=∠BAM}\\{FA=MA}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△BAM，
∴CF=BM，
∵AF⊥BF，∠AFD=60°，
∴∠MFB=30°，
∵∠AMD=∠ABC=60°，
∴AMBC四点共圆，
∴∠AMB+∠ACB=180°，
∴∠FMB=60°，
∴∠FBM=180°-∠MFB-∠FMB=90°，
∴FM=2BM，
∴AF=2CF
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查等边三角形性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆，直角三角形中30度角性质等知识，构造全等三角形是解决第三问的关键．