Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）填空：
①当AB=2BE时，四边形BECD是菱形；
②在①的基础上，当∠A的度数为45°时，四边形BECD是正方形．

Answer 1

分析 （1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．

解答 （1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；

（2）解：AB=2BE时，四边形BECD是菱形，
理由是：∵四边形BECD是菱形，
∴CE=EB=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∴AD=BD，
∴AB=2BE．
故答案是：2；

（3）当∠A=45°时，∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠DBE=90°，
∴四边形BECD是正方形．
故答案是：45°．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．