Question

10．如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，DE⊥BC于E，将△ABC沿过点D的直线对折，使点A落在BC边上的点E处，折痕交AB于点F．
求证：四边形ADEF是菱形．

Answer 1

分析 设AE与DF的交点为O，如图所示，由折叠可得AE⊥DF，OF=OD，要证四边形ADEF是菱形，只需证OA=OE，只需证△AFO≌△EDO即可．

解答 证明：设AE与DF的交点为O，如图所示，

∵∠B=90°，DE⊥BC，
∴∠B=∠DEC=90°，
∴AB∥DE，
∴∠FAO=∠DEO．
由折叠可得：
AE⊥DF，OF=OD．
在△AFO和△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠DEO}\\{∠AOF=∠EOD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△EDO，
∴OA=OE．
∵OF=OD，OA=OE，AE⊥DF，
∴四边形ADEF是菱形．

点评 本题主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、菱形的判定等知识，由平行和中点推出三角形全等是解决本题的关键．