Question

如图所示，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB=1，PA=

3

，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：压轴题

分析：连接OA，PA切⊙O于A，则∠A=90°，设⊙O的半径为x，则在Rt△OAP中，根据勾股定理列方程求出⊙O的半径，再根据三角形函数确定∠P，∠AOB的度数，利用阴影部分的面积=S_△PAO-S_扇形OAB，代入数值即可求值．

解答：解：连接OA，∵PA切⊙O于A，
∴∠A=90°，设⊙O的半径为x，
∴在Rt△OAP中，
PO²=OA²+PA²，
即（1+x）²=x²+（

3

）²，
解得x=1，tanP=OA：PA=1：

3

，
∴∠P=30°，∠AOB=60°，
∴阴影部分的面积=S_△PAO-S_扇形OAB=

1

2

×1×

3

=

3

2

-

π

6

=

3 3 -π

6

．

点评：本题考查切线的性质、勾股定理、直角三角形、扇形的面积公式、三角形函数，解决问题得关键是利用勾股定理列方程求出圆的半径．