题目内容
如图所示，在某高新技术开发区中，相距200m的A、B两地的中点O处有一精密仪器研究所，为了保证研究的正常进行，在其周围50m以内不得有机动车辆通过，现在要从A到B修一条公路，有两种修路方案：
方案一：分别由A、B向以O为圆心，半径为50m的半圆引切线，切点分别为M、N，沿线段AM、圆弧MN、线段NB修路；
方案二：分别由A、B向以O为圆心，半径为50m的半圆引切线，两切线相交于P，沿线段AP、PB修路．
哪种修路方案更节省，请通过计算说明道理．
方案一：分别由A、B向以O为圆心，半径为50m的半圆引切线，切点分别为M、N，沿线段AM、圆弧MN、线段NB修路；
方案二：分别由A、B向以O为圆心，半径为50m的半圆引切线，两切线相交于P，沿线段AP、PB修路．
哪种修路方案更节省，请通过计算说明道理．
考点：切线的性质
专题：应用题
分析：如图，作辅助线；在方案一中，求出∠A、∠MOA的度数；进而求出AM的长度；求出
的长度，即可求出道路的总长度；在方案二中，运用类似的方法求出道路的总长度，经比较，即可解决问题．
 |
| MN |
解答：
解：方案一，如图①，连接OM、ON；
∵AM、AN分别是半圆O的切线，
∴AM⊥OM，ON⊥BN；
∵OM=50，OA=100，
∴∠A=30°，∠AOM=60°；
∵cos30°=
，AM=100×
=50
，；
同理可求：∠BON=60°，BN=50
，
∴∠MON=180°-120°=60°；
的长度=
=
，
∴在方案一中，道路的总长度=100
+
（m）．
方案二，如图②，
由方案一知：∠A=∠B=30°，而AO=BO，
∴PO⊥AB；
∵cos30°=
，而AO=100，
∴AP=
，同理可求BP=
，
∴在方案二中，道路的总长度=
（m）．
∴经比较方案一更节省．
解：方案一，如图①，连接OM、ON；∵AM、AN分别是半圆O的切线，
∴AM⊥OM，ON⊥BN；
∵OM=50，OA=100，
∴∠A=30°，∠AOM=60°；
∵cos30°=
| AM |
| AO |
| ||
| 2 |
| 3 |
同理可求：∠BON=60°，BN=50
| 3 |
∴∠MON=180°-120°=60°；
|
| MN |
| 60π×50 |
| 180 |
| 50π |
| 3 |
∴在方案一中，道路的总长度=100
| 3 |
| 50π |
| 3 |
方案二，如图②，
由方案一知：∠A=∠B=30°，而AO=BO，
∴PO⊥AB；
∵cos30°=
| AO |
| AP |
∴AP=
200
| ||
| 3 |
200
| ||
| 3 |
∴在方案二中，道路的总长度=
400
| ||
| 3 |
∴经比较方案一更节省．
点评：该题主要考查了切线的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用直角三角形的边角关系、扇形的弧长公式等几何知识来分析、解答．
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