Question

18．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α°（α为已知常数），以A为顶点作△ADE，使∠BAC=∠DAE，AD=AE，G、H分别为BD、CE的中点．
（1）求证：AG=AH，且∠GAH=α°；
（2）延长BD与直线CE交于点P，补全图形，并求∠BPC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）设AB=a，直接写出点P到AB的最大距离．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABD≌△ACE，得∠ADB=∠AEC，BD=CE，再证明△ADG≌△AEH，可得结论；
（2）根据△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠ACE，所以∠P=∠BAC=α°；
（3）如图2中，作△ABC的外接圆，由（2）可知∠P=α=定值，推出点P在$\widehat{AC}$上运动，当点P′是优弧$\widehat{AB}$的中点P′时，点P′到AB的距离最大，作P′E⊥AB于E．求出P′E即可解决问题．

解答 证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，
∵G、H分别为BD、CE的中点，
∴DG=EH，
∴△ADG≌△AEH，
∴AG=AH，∠GAD=∠HAE，
∴∠GAD+∠DAH=∠HAE+∠DAH=α°，
即∠GAH=α°；

（2）如图1，由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠ACB+∠ACE，
∴∠P=∠BAC=α°．

（3）如图2中，作△ABC的外接圆，由（2）可知∠P=α=定值，
∴点P在$\widehat{AC}$上运动，当点P′是优弧$\widehat{AB}$的中点P′时，点P′到AB的距离最大，作P′E⊥AB于E．
∵$\widehat{AP′}$=$\widehat{BP′}$，P′E⊥AB，
∴P′A=P′B，AE=BE=$\frac{1}{2}$a，∠AP′E=′E=$\frac{1}{2}$∠AP′B=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（180°-α）=45°-$\frac{1}{4}$α，
在Rt△AEP′中，tan∠AP′E=$\frac{AE}{P′E}$，
∴P′E=$\frac{\frac{1}{2}a}{tan（45°-\frac{1}{4}α）}$=$\frac{a}{2tan（45°-\frac{1}{4}α）}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．