Question

10．如图，点A（-1，-2）为正比例函数y=kx的图象上一点，B（0，4）．
（1）求k的值；
（2）点P为第一象限的正比例函数图象上一点，BE⊥BP交OP于E，若BP=BE．求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标利用待定系数法即可求出正比例函数解析式；
（2）过点B作BC⊥直线AP于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，由点B的坐标结合勾股定理即可得出BC、OC的长度，再根据等腰直角三角形的性质即可得出CP的长度，进而可得出OP的长度，根据正比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理即可求出OD、DP的长度，从而得出点P的坐标．

解答 解：（1）将点A（-1，-2）代入y=kx，
-2=-1k，
解得：k=2．
（2）过点B作BC⊥直线AP于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，如图所示．
∵正比例函数解析式为y=2x，BC⊥OC，
∴OC=2BC，OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$BC．
∵点B（0，4），
∴OB=4，BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OC=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∵BE⊥BP，BP=BE，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴CP=BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OP=OC+CP=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
∵DP⊥y轴，
∴OD=2DP，OP=$\sqrt{O{D}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$DP，
∴DP=$\frac{12}{5}$，OD=$\frac{24}{5}$．
∴点P的坐标为（$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求正比例函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出正比例函数解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理求出OD、DP的长度．