Question

9．在正方形ABCD中，AB=2，以BC为直径作半圆O．
（1）过点A向半圆O作切线，切点为E（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）点P是半圆弧上一动点，当点P运动时，四边形APCE能否成为平行四边形，说明理由．

Answer 1

分析 （1）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交半圆于点E，连接AE，则根据SSS即可判定△ABO≌△AEO，进而得到∠ABO=∠AEO=90°，故AE是半圆的切线；
（2）根据AB、AE都是半圆的切线，即可得出AB=AE，再根据AB=BC，可得AE=BC，最后根据当AP∥CE时，CP＜BC，即可得到CP＜AE，进而得出结论．

解答 解：（1）如图所示，AE即为所求；


（2）如图所示，四边形APCE不能成为平行四边形．
理由：∵AB、AE都是半圆的切线，
∴AB=AE，
又∵AB=BC，
∴AE=BC，
又∵当AP∥CE时，CP＜BC，
∴CP＜AE，
∴四边形APCE不能成为平行四边形．

点评 本题主要考查了复杂作图，切线的性质，正方形的性质以及平行四边形的判定，解决问题的关键是掌握：圆的切线垂直于经过切点的半径．