Question

10．如图，在正方形ABCD中，点E在CD的延长线上，且CE=CA，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．如果AB=4，则BF²的值为16+8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接DF，作FH⊥CE于H，首先证明△FDC≌△FAB，推出FC=FB，在Rt△CFH中，求出FH、CH即可解决问题．

解答 解：连接DF，作FH⊥CE于H．
∵CE=CA，CF⊥EC，
∴EF=AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ADC=∠ADE=∠DAB=90°，
∴DF=AF，AC=CE=4$\sqrt{2}$，
∴∠FDA=∠FAD，
∴∠FDC=∠FAB，∵DC=AB，
∴△FDC≌△FAB，
∴FC=FB，
∴DE=CE-CD=4$\sqrt{2}$-4，
在Rt△FCH中，易知FH=2，CH=2$\sqrt{2}$+2，
∴CF²=FH²+CH²=16+8$\sqrt{2}$，
∴BF²=16+8$\sqrt{2}$，
故答案为16+8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．