Question

15．如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A（a，0），其中a＜0，以OA为边长作正方形ABCO，边AB与BC分别交双曲线y=$\frac{k}{x}$第二象限中的一支于点D、E，延长EO交双曲线的另一支于点F，连接DF．
（1）求证：AD=CE；
（2）判断DE、EF、DF三边存在何种数量关系，用一个等式表示，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据正方形的性质得到OA=OC，根据反比例函数的性质得到S_△AOD=S_△COE，于是得到结论；
（2）设D（a，b），则E（-b，-a），F（b，a），根据两点间的距离公式得到DE²=（a+b）²+（b+a）²=2（a+b）²，DF²=（a-b）²+（b-a）²=2（a-b）²，EF²=（-b-b）²+（-a-a）²=4a²+4b²，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=OC，
∵D，E在双曲线上，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴$\frac{1}{2}$OA•AD=$\frac{1}{2}$OC•CE，
∴AD=CE；
（2）DE²+DF²=EF²，
设D（a，b），则E（-b，-a），F（b，a），
∵DE²=（a+b）²+（b+a）²=2（a+b）²，DF²=（a-b）²+（b-a）²=2（a-b）²，EF²=（-b-b）²+（-a-a）²=4a²+4b²，
∴DE²+DF²=4a²+4b²，
∴DE²+DF²=EF²．

点评 本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，正方形的性质，两点间的距离公式，正确的识别图形是解题的关键．