Question

6．某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池．
（1）有建议改为图（2）所示的形状，且外直径不变，只是担心原来准备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需要的材料多（即比较哪个周长更长）？
（2）若将三个小圆改成n个小圆，结论是否成立？请说明．

Answer 1

分析 （1）设大圆的半径为R，利用圆的周长公式得到图（1）中两个圆的周长为4πR；同样设图（2）三个小圆的半径分别为r₁、r₂、r₃，则三个小圆的周长为2π（r₁+r₂+r₃），由于r₁+r₂+r₃=R，则三个小圆的周长=2πR，所以图（2）中所有圆的周长为4πR，于是可判断两种方案需要的材料一样多；
（2）设n个小圆的半径分别为r₁、r₂、…，r_n，与（1）一样可得n个小圆的周长为2π（r₁+r₂+…+r_n），而r₁+r₂+…+r_n=R，则n个小圆的周长=2πR，所以所有圆的周长为4πR，于是可判断（1）中的结论仍然成立．

解答 解：（1）设大圆的半径为R，则图（1）中两个圆的周长=2•2πR=4πR，
设图（2）三个小圆的半径分别为r₁、r₂、r₃，则三个小圆的周长=2πr₁+2πr₂+2πr₃=2π（r₁+r₂+r₃），
因为r₁+r₂+r₃=R，
所以三个小圆的周长=2πR，
所以图（2）中所有圆的周长=2πR+2πR=4πR，
所以两种方案需要的材料一样多；
（2）将三个小圆改成n个小圆，结论成立．理由如下：
设n个小圆的半径分别为r₁、r₂、…，r_n，则n个小圆的周长=2πr₁+2πr₂+…+2πr_n=2π（r₁+r₂+…+r_n），
因为r₁+r₂+…+r_n=R，
所以n个小圆的周长=2πR，
所以所有圆的周长=2πR+2πR=4πR，
所以两种方案需要的材料一样多．

点评 本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．