Question

20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF，AO=OM，下列说法错误的是（　　）

• A． AE=AF
• B． AM⊥EF
• C． DF=FC
• D． AF=FM

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，求出CE=CF，然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM，再判断出EF垂直平分AM，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM，然后根据四条边都相等的四边形是菱形，继而证得AM⊥EF．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；
∵BC=CD，BE=DF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=CF，
在△AEC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EM=FM，
∵OM=OA，
∴EF垂直平分AM，
∴AE=EM，
∴AE=EM=FM=AF，故A、D正确；
∴四边形AEMF是菱形，
∴AM⊥EF；故B正确．
故选C．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．注意证得四边形AEMF是菱形是解此题的关键．