如图(1).四边形ABCD是一张边长为2a的正方形纸片.先将正方形ABCD对折.使BC与AD重合.折痕为EF.把这个正方形展平.然后沿直线CG折叠.使点B落在EF上.对应点为B′．(1)求∠EGB′的度数,(2)求tan∠B′CG,.按以下步骤进行操作:第一步:先将正方形ABCD对折.使BC与AD重合.折痕为EF.把这个正方形展平.然后继续对折.使AB与DC重� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图（1），四边形ABCD是一张边长为2a的正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使点B落在EF上，对应点为B′．
（1）求∠EGB′的度数；
（2）求tan∠B′CG（结果保留根号）；
（3）如图（2），按以下步骤进行操作：
第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；
第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；
第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，求四边形B′PD′Q的面积．

分析（1）根据折叠的性质，CB′=BC=2a，CF=a，易求∠CB′F=30°，再根据同角的余角相等得出∠EGB′=30°；
（2）在Rt△CFB′中，可知B′F=$\sqrt{3}$a，EB′=2a-$\sqrt{3}$a，设GB′=x，则EG=a-x，在Rt△EGB′中，根据勾股定理列方程求解，然后根据正切定义计算即可；
（3）连接AB′利用三角形全等及对称性得出EB′=NP=FD′=MQ，由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，MN⊥EF，于点O，PQ⊥B′D′于点0，得到四边形B′PD′Q为正方形，又PB′=$\frac{1}{2}$CG，根据勾股定理求出CG，即可求出四边形B′PD′Q的面积．

解答解：（1）根据折叠的性质，CB′=BC=2a，CF=a，
∵$\frac{CF}{CB′}=\frac{1}{2}$
∴∠CB′F=30°，
∵∠GB′C=90°，
∴∠EGB′=30°；
（2）如图1，在Rt△CFB′中，可知B′F=$\sqrt{3}$a，
∴EB′=2a-$\sqrt{3}$a，
设GB′=x，则EG=a-x，
∴x²=（a-x）²+（2a-$\sqrt{3}$a）²，
解得：x=（4-2$\sqrt{3}$）a，
在Rt△CGB′中，
tan∠B′CG=$\frac{GB′}{CB′}=\frac{（4-2\sqrt{3）}a}{2a}$=2-$\sqrt{3}$；
证明：如图2，连接AB′
由（2）可知∠B′AE=∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′=∠PCN，
∴∠B′AE=∠PCN，
由对折知∠AEB′=∠CNP=90°，AE=$\frac{1}{2}$ AB，CN=$\frac{1}{2}$ BC，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AE=CN，
在△AEB′和△CNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B′AE=∠PCN}\\{AE=CN}\\{∠AEB′=∠CNP}\end{array}\right.$，
∴△AEB′≌△CNP（ASA），
∴EB′=NP，
同理可得，EB′=MQ，
由对称性可知，EB′=FD′，
∴EB′=NP=FD′=MQ，
由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，
∴OB′=OP=0D′=OQ，
∴四边形B′PD′Q为矩形，
由对折知，MN⊥EF，于点O，
∴PQ⊥B′D′于点0，
∴四边形B′PD′Q为正方形，
根据折叠的性质知，P为CG的中点，
∴PB′=$\frac{1}{2}$CG，
∵CG²=BG²+CB²=[（4-2$\sqrt{3}$）a]²+（2a）²=（32-16$\sqrt{3}$）a²，
∴四边形B′PD′Q的面积=PB′²=（$\frac{1}{2}$CG）²=$\frac{1}{4}$×（32-16$\sqrt{3}$）a²=（8-$\sqrt{3}$）a²．