Question

8．观察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
将以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）按照一定规律排列式子：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…，其中第n项（n为正整数）的形式为$\frac{1}{n（n+1）}$，按照材料中的写法，该项可表示为$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）直接写出下式：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2009×2010}$的计算结果为$\frac{2009}{2010}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+…+$\frac{1}{2n×2（n+1）}$（其中n为正整数）．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到一般性规律，写出第n项，表示出变形结果即可；
（2）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；
（3）原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）第n项为$\frac{1}{n（n+1）}$，可表示为$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；   
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…=$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$=1-$\frac{1}{2010}$=$\frac{2009}{2010}$；   
（3）原式=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]=$\frac{n}{4（n+1）}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$，$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）$\frac{2009}{2010}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．