Question

3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点F在DC上，且∠BEF=∠A．
（1）∠BEF=180°-2α（用含α的代数式表示）．
（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数；
（2）首先连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{OE}{OD}$=$\frac{OB}{OF}$，继而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF．

解答 （1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°-2α；
故答案为：180°-2α；
（2）EB=EF．证明：连接BD交EF于点O，连接BF．



∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．
∵AB=AD，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，
由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，
∴$\frac{OE}{OD}=\frac{OB}{OF}$，
即$\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OF}$，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α，
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．