Question

20．如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，现将△ABC绕顶点B顺时针方向旋转△A′BC′的位置，此时A′C′与BC的交点D是BC的中点，则线段C′D的长度是（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{8\sqrt{5}}{5}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 首先求出AB、cos∠A的值；然后证明cos∠A′=cos∠A，A′M=CM；求出A′M的值，即可解决问题．

解答 解：过点B作BM⊥A′C′，交A′C′于点M，如图所示：
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，cosA=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由题意得：∠A′=∠A，A′B=AB=2，A′C′=AC=2$\sqrt{5}$，
∵点D为BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，BD=A′B，而BM⊥A′C′，
∴A′M=DM，
∵cosA′=cosA，且cosA′=$\frac{A′M}{A′B}$，
∴A′M=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×2=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴C'D=A'C'-2A'M=2$\sqrt{5}$-2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：B．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线和求出A'M的长．