Question

10．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线C₁：y=ax²经过点（1，-1）．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁平移后得到抛物线C₂，若抛物线C₂经过点（0，2），且对称轴为直线x=1，请你说明：将抛物线C₁如何平移可得到抛物线C₂；
（3）将（2）中得到的抛物线C₂沿其对称轴向下平移，得到抛物线C₃，设抛物线C₃的顶点为A，直线OA与抛物线C₃的另一个交点为B，对称轴与x轴的交点为P，当OP=AP时．求点A的坐标及∠ABP的正弦值．

Answer 1

分析 （1）把点（1，-1）代入抛物线解析式，列出关于系数a的方程，通过方程来求a的值；
（2）利用待定系数法求得平移后抛物线的解析式，易求平移后的抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移前后顶点坐标的变化来推断抛物线的平移规律；
（3）需要对点A的位置进行分类讨论：点A在x轴的上方和点A在x轴的下方两种情况．根据点A的坐标易求直线OA的解析式，由直线OA和抛物线C₃的交点来求点B的坐标即可．

解答 解：（1）把（1，-1）代入y=ax²，
得a=-1，
故该抛物线的解析式为：y=-x²；

（2）抛物线C₂是由抛物线C₁向右平移1个单位，向上平移3个单位得到的．理由如下：
设抛物线C₂的解析式为：y=-（x-1）²+k．
把（0，2）代入，
得 2=-1+k，
解得k=3．
故抛物线C₂的解析式为：y=-（x-1）²+3，
则其顶点坐标为（1，3）．
所以由抛物线C₁的顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C₂的顶点坐标（1，3）．
所以，抛物线C₂是由抛物线C₁向右平移1个单位，向上平移3个单位得到的．

（3）当OP=AP时，A（1，1）或（1，-1）．
当A（1，1）时，y=-（x-1）²+1，直线OA与抛物线没有交点B．
故A（1，-1）．
所以抛物线C₃的解析式为：y=-（x-1）²-1．
∴直线OA是二、四象限的角平分线，设B（a，-a），a＞0，
则-a=-（a-1）²-1，
解得a₁=1（舍去），a₂=2，
∴B（2，-2）．
设P点到OA的距离是h，则h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠ABP=$\frac{h}{PB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．