Question

15．如图，正方形ABCD中，C（-3，0），D（0，4）．过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数图象于E点，交x轴于G点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点E的坐标；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使△PEC是等腰三角形？若存在，直接写出P点坐标；不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质AD=CD，∠ADC=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAF=∠CDO，于是可根据“AAS”证明△CDO≌△DAF；由于△CDO≌△DAF，根据全等的性质得AF=OD=4，DF=OC=3，则A点坐标为（-4，7），再利用待定系数法可求出反比例函数解析式为y=-$\frac{28}{x}$；
（2）结合（1）中的方法一样可证明△CDO≌△BGC，得到CG=OD=4，则得到E点的横坐标为-7，然后利用反比例函数解析式可确定E点坐标；
（3）分别利用当EP₁=EC=4$\sqrt{2}$，当CP₂=EC=4$\sqrt{2}$，当EP₃=P₃C=4$\sqrt{2}$，当EC=CP₄=4$\sqrt{2}$，进而分别得出符合题意的答案．

解答 解：（1）如图1，过点A作AF⊥y轴于点F，
∵C（-3，0），D（0，4），
∴OC=3，OD=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDO=90°，
∵AF⊥y轴，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDO，
在△CDO和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOC=∠AFD}\\{∠CDO=∠DAF}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△DAF（AAS），
∴AF=OD=4，DF=OC=3，
∴OF=OD+DF=3+4=7，
∴A点坐标为（-4，7），
设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
把A（-4，7）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-4×7=-28，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{28}{x}$；

（2）如图1，
与（1）中的方法一样可证明△CDO≌△BGC，
则CG=OD=4，
故OG=OC+CG=7，
则E点的横坐标为-7，
把x=-7代入y=-$\frac{28}{x}$得y=4，
故E点坐标为（-7，4）；

（3）如图2，∵C（-3，0），E（-7，4），
∴EG=GC=4，
∴EC=4$\sqrt{2}$，
当EP₁=EC=4$\sqrt{2}$，则P₁G=GC=4，故P₁（-11，0）；
当CP₂=EC=4$\sqrt{2}$，则P₂（-3-4$\sqrt{2}$，0）；
当EP₃=P₃C=4$\sqrt{2}$，则设P₃C=x，则EP₃=x，故在Rt△EGP₃中，
EG²+GP${\;}_{3}^{2}$=EP${\;}_{3}^{2}$，
即4²+（4-x）²=x²，
解得：x=4，即P₃与G点重合，故P₃（-7，0）；
当EC=CP₄=4$\sqrt{2}$，则P₄（4$\sqrt{2}$-3，0）；
综上所述：符合题意的点的坐标为：（-11，0）；（-3-4$\sqrt{2}$，0）；（-7，0）；（4$\sqrt{2}$-3，0）．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、正方形的性质和三角形全等的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．