Question

9．如图，菱形AB₁C₁D₁的边长为1，∠B₁=60°；作AD₂⊥B₁C₁于点D₂，以AD₂为一边，做第二个菱形AB₂C₂D₂，使∠B₂=60°；作AD₃⊥B₂C₂于点D₃，以AD₃为一边做第三个菱形AB₃C₃D₃，使∠B₃=60°…则AD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，依此类推这样做的第n个菱形AB_nC_nD_n的边AD_n的长是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^n-1．

Answer 1

分析 在△AB₁D₂中利用三角函数的定义计算出AD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再根据菱形的性质得AB₂=AD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则利用三角函数的定义得到AD_3⁼（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，同理可得AD₄=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³，利用此变换规律得到AD_n=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^n-1．

解答 解：在△AB₁D₂中，∵sinB₁=$\frac{A{D}_{2}}{A{B}_{1}}$，
∴AD₂=1×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵四边形AB₂C₂D₂为菱形，
∴AB₂=AD₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在△AB₂D₃中，∵sinB₂=$\frac{A{D}_{3}}{A{B}_{2}}$，
∴AD₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×sin60°=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
同理可得AD₄=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）³，
∴第n个菱形AB_nC_nD_n的边AD_n的长为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^n-1．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）^n-1．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积等于对角线乘积的一半．