Question

9．如图，E，F，G，H分别是边BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD=6，现有下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④四边形EFGH的周长是12．其中正确的是①③④．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．

解答 解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD，FG=$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}$CD，HE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是矩形，错误；
③HF平分∠EHG，正确；
④四边形EFGH的周长=$\frac{1}{2}$（CD+AB+CD+AB）=12，正确．
综上所述，①③④共3个正确．
故答案是：①③④．

点评 本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．