Question

18．【探究活动】
如图1：已知直线a与b平行，直线c与直线a、b分别相交于点A、B，直线d与直线a、b分别相交于点C、D，点P在直线c上移动，连接PC、PD．探究∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的数量关系．
【探究过程】
（1）当点P在点A、B之间移动时，如图2，写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系，并说明理由．
（2）当点P在A、B两点外移动时，如图3，写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系，并说明理由．
（3）当点P在A、B两点外移动时，如图4，直接写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系．

Answer 1

分析 （1）过P点作PE∥AC交CD于E点，由于AC∥BD，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，据此可得∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系；
（2）同样，过P点作PE∥AC交CD于E点，由于AC∥BD，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，据此可得∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系；
（3）运用（2）中的方法，过P点作PE∥AC交CD于E点，由于AC∥BD，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，据此可得∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的关系．

解答 解：（1）∠CPD=∠PCA+∠PDB．
理由：如图2，过P点作PE∥AC交CD于E点，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=∠PCA+∠PDB；

（2）∠CPD=∠PDB-∠PCA；
理由：如图3，过P点作PE∥BD交CD于E点，
∵AC∥BD，
∴PE∥AC，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠PDB-∠PCA；

（3）∠CPD=∠PCA-∠PDB．
理由如下：如图4，过P点作PF∥BD交CD于E点，
∵AC∥BD，
∴PE∥AC，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠PCA-∠PDB；

点评 本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角．解题时注意：两直线平行，内错角相等．