Question

【题目】已知：抛物线经过坐标原点，且当时, y随x的增大而减小.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如下图，设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B, DCx轴于点C.

①当 BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；

②设动点A的坐标为（a, b）,将矩形ABCD的周长L表示为a的函数，并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①6 ，②L= ，当A的坐标为（，﹣）或（，﹣），L的最大值为．

【解析】试题分析：（1）由题意知：抛物线过（0，0），所以将（0，0）代入y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1即可求得m的值，再由x＜0时，y随x的增大而减小，可知对称轴一定在y轴的右侧，进而得出m的取值范围；

（2）①由AD∥x轴，所以A与D关于抛物线的对称轴对称，从而得出B的横坐标，代入抛物线解析式即可求得B的纵坐标，从而得出AB的长度；

②把A（a，b）代入y=x2﹣3x，所以b=a2﹣3a，利用对称性可求得D的坐标为（3﹣a，a2﹣3a），所以AD=|3﹣2a|，然后分以下两种情况讨论：0＜a≤时和＜a＜3时，分别求出L与a的关系式后，利用二次函数的性质即可求出L的最值．

试题解析：解：（1）把（0，0）代入y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1，∴0=m2﹣1，∴m=±1，∵当x＜0时，y随x的增大而减小，∴对称轴x=＞0，∴m＜，∴m=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x；

（2）①∵AD∥x轴，∴A与D关于抛物线的对称轴对称，∵抛物线的对称轴为x=，BC=1

∴点B的横坐标为1，∴把x=1代入y=x2﹣3x，∴y=﹣2，∴AB=2，∴矩形ABCD的周长为：2×2+2×1=6；

②把A（a，b）代入y=x2﹣3x，∴b=a2﹣3a，∴A（a，a2﹣3a），令y=0代入y=x2﹣3x，∴x=0或x=3，∴由题意知：0＜a＜3，∴AB=3a﹣a2，由①可知：A与D关于x=对称，∴D的坐标为（3﹣a，a2﹣3a），∴AD=|3﹣a﹣a|=|3﹣2a|，分两种情况讨论：

当0＜a≤时，∴AD=3﹣2a，∴L=2（AB+AD）=﹣2a2+2a+6=﹣2（a﹣）2+，当a=时，L的最大值为，此时A的坐标为（，﹣）；

当＜a＜3时，∴AD=2a﹣3，∴L=2（AB+AD）==﹣2（a﹣）2+，当a=时，L的最大值为，此时A的坐标为（，﹣）．

综上所述：L= ，当A的坐标为（，﹣）或（，﹣），L的最大值为．