Question

18．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，则线段EP₁长度的最大值与最小值的差为9-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点B作BD⊥AC，D为垂足，在Rt△BCD中，根据BD=BC×sin45°求出BD的长．①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，据此求解可得．

解答 解：如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为2+5=7，
∴线段EP₁长度的最大值与最小值的差为7-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$+2=9-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：9-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查旋转变换、解直角三角形的应用，根据题意得出点P的对应点P₁在线段AB上时EP₁最小、点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时EP₁最大是解题的关键．