Question

20．已知关于x的函数y=kx²+（2k-1）x-2（k为常数）．
（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（-2，0）；
（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（3）试问该函数是否存在最小值-3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=-2代入计算，函数值为0即可．
（2）分两种情形讨论：①若k=0，此函数为一次函数y=-x-2，②若k≠0，根据二次函数的性质即可解决问题．
（3）分两种情形讨论：①若k=0，不存在，②k≠O，列出方程即可解决．

解答 解：（1）将x=-2代入，得y=k（-2）²+（2k-1）•（-2）-2=0，
故不论k取何值，此函数图象一定经过点（-2，0）．
（2）①若k=0，此函数为一次函数y=-x-2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k=0符合题意．
②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（-2，0）、（0，-2）
∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．
综上，k的取值范围是k≤0．
（3）若k=0，此函数为一次函数y=-x-2，
∵x的取值为全体实数，
∴y无最小值，
若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为-3，
则$\frac{-8k-（2k-1）^{2}}{4k}$=-3，且k＞0，
解得：k=$\frac{2±\sqrt{3}}{2}$ 符合题意，
∴当k=$\frac{2±\sqrt{3}}{2}$时，函数存在最小值-3．

点评 本题考查二次函数的最值问题、一次函数的有关知识，解题的关键是学会分类讨论，注意解题的严谨性，属于中考常考题型．