Question

12．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，小凡在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得塔顶F的仰角分别为α和β，AD=18m，CD=78m．
（1）用α和β的三角函数表示CE；
（2）当α=30°、β=60°时，求EF（结果精确到1m）．
（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）延长AD交FE于G，设CE=x，根据正切的概念用含x的代数式表示GF、EF，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）把已知数据代入（1）中的关系式，根据特殊角的三角函数值和二次根式的运算法则计算即可．

解答 解：（1）延长AD交FE于G，
设CE=x，则DG=x，
在Rt△AFG中，tanα=$\frac{GF}{GA}$，
∴GF=AG•tanα=（x+18）tanα，
在Rt△FCE中，tanβ=$\frac{EF}{EC}$，
FE=x•tanβ，
∵FE=FG+EG，
∴x•tanβ=（x+18）tanα+78，
解得，x=$\frac{18tanα+78}{tanβ-tanα}$，
即CE=$\frac{18tanα+78}{tanβ-tanα}$；
（2）FE=x•tanβ
=$\frac{18tanα+78}{tanβ-tanα}$×tanβ
=$\frac{18×tan30°+78}{tan60°-tan30°}×tan60°$
=$\frac{18×\frac{\sqrt{3}}{3}+78}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}×\sqrt{3}$
=9$\sqrt{3}$+117
≈133（m）．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握余角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．