Question

如图，已知正方形ABCD，AEFG，∠BAG=α（0゜＜α＜180゜）连接BD，EG，DE，BE，DG．

（1）观察，归纳：当α由0゜到180゜的变化过程中，图中现有的线段中有两条的位置和数量关系保持不变，请直接写出这两条线段的关系；
（2）利用第二个图形证明你的发现；
（3）设正方形ABCD，AEFG的边长分别为5和3，线段BD，DE，EG，GB围成一个封闭图形的面积为S，当α变化时，请直接写出S的最大值及相应的α值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）观察得到线段BE和DG线段且垂直；
（2）根据正方形的性质得∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，则根据旋转的定义，将△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，然后根据旋转的性质得BE=DG，且BE⊥DG；
（3）当α=90°时，线段BD，DE，EG，GB围成一个封闭图形的面积最大，它们所围成的图形为对角互相垂直的四边形BDEG，所以S=

1

2

BE•DG=

1

2

×8×8=32，即S的最大值为32．

解答：（1）解：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）证明：∵四边形ABCD，AEFG均为正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，
∴将△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
∴DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合，
∴BE=DG，且BE⊥DG；
（2）当α=90°时，线段BD，DE，EG，GB围成一个封闭图形的面积最大，如图，

∴S=

1

2

BE•DG=

1

2

×8×8=32，即S的最大值为32．

即α=90°时S有最大值，且S=32．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和旋转的性质．会运用三角形面积公式进行计算．