Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，M、N是AC、BC上的动点，且∠MDN=90°，下列结论正确的有（　　）个
（1）AM=CN；（2）S_四边形MDNC是定值；
（3）AM²+BN²=MN²；（4）MN平分∠CND．

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得出∠ADM=∠CDN；由ASA证明△AMD≌△CND，得出AM=CN，（1）正确；
证出CM=BN，根据勾股定理得出（2）正确；
四边形MDNC的面积=S_△CDM+S_△CDN=S_△CDM+S_△ADM=S_△ADC．得出（3）正确；
当MN∥AB时，MN平分∠CND．得出（4）不正确．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．
∵∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN．
在△AMD和△CND中，$\left\{\begin{array}{l}{A=∠DCN}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠ADM=∠CDN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴AM=CN，DM=DN，S_△AMD=S_△CND．
∴CM=BN．
∵四边形MDNC的面积=S_△CDM+S_△CDN=S_△CDM+S_△ADM=S_△ADC．
∴四边形MDNC的面积是定值；
∵CM²+CN²=MN²，
∴BN²+AM²=MN²．
当MN∥AB时，MN平分∠CND．
∴正确的有：①②③；
故选：B．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质和证明三角形全等是解决问题的关键．