Question

9．已知△ACD与△AGF都为等腰直角三角形，∠GAF=∠CAD=90°．连接GD、CF，N为线段GD的中点，连接AN．
（1）求证：2AN=CF；
（2）求证：AN⊥CF．

Answer 1

分析 （1）延长DA至点M，使AM=DA，先证明AN为△DMG的中位线，得出AN=$\frac{1}{2}$MG，由△ACD与△AGF为等腰直角三角形，得出AC=AD=AM，AF=AG，证出∠CAF=∠GAM，由SAS证明△CAF≌△MAG，得出CF=MG，得出AN=$\frac{1}{2}$CF即可；
（2）延长FC交AN于点P，由△CAF≌△MAG得出∠CFA=∠MGA，由平行线得出∠MGA=∠GAN，得出∠CFA=∠GAN，证出∠CFA+∠NAF=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：延长DA至点M，使AM=DA，如图1所示：
∵N为DG的中点，
∴AN为△DMG的中位线，
∴AN=$\frac{1}{2}$MG，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=AD=AM，
∵△AFG是等腰直角三角形，
∴AF=AG，
∵∠CAD=90°，
∴∠CAM=90°，
即∠CAG+∠GAM=90°，
又∵∠CAG+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠GAM，
在△CAF和△MAG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AM}&{\;}\\{∠CAF=∠GAM}&{\;}\\{AF=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CAF≌△MAG（SAS），
∴CF=MG，
∴AN=$\frac{1}{2}$CF，
即2AN=CF；
（2）证明：延长FC交AN于点P，如图2所示：
∵△CAF≌△MAG，
∴∠CFA=∠MGA，
∵AN∥MG，
∴∠MGA=∠GAN，
∴∠CFA=∠GAN，
∵∠NAF+∠GAN=90°，
∴∠CFA+∠NAF=90°，
∴∠FPA=90°，
即AN⊥CF．

点评 本题考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、互余两角的关系；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．