Question

6．直线l经过（2，3）和（-2，-1）两点，它还与x轴交于A点，与y轴交于C点，与经过原点的直线OB交于第三象限的B点，且∠ABO=30°．求：
（1）点A、C的坐标；
（2）点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出AC的解析式，分别求出点A、C的坐标即可；
（2）根据勾股定理求出AC的长，作OD⊥AC于D，BF⊥y轴于F，求出OF、BF的长即可．

解答 解：（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为：y=x+1，
则点A的坐标（-1，0），B（0，1）．
（2）作OD⊥AC于D，BF⊥y轴于F，
∵OA=1，OC=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，
则OD=AD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△BOD中，∠ABO=30°，
BD=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则BC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
|BF|=|CF|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
|OF|=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$-1=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∵B在第三象限，
∴点B的坐标为：（-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）．

点评 本题考查的是一次函数的知识，正确运用勾股定理和待定系数法求解析式是解题的关键，解答时，注意锐角三角函数的运用．