如图.抛物线y=$-\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.已知A是线段BC上的一个动点.过点D作x轴的垂线与抛物线相交于点F.垂足为E．(1)求抛物线的解析式及C点坐标,(2)设△CBF的面积为S.求S与m的函数关系式.并求出当S最大时D点的坐标,(3)是否存在点D.使△CDE∽△CEB?如果存在.求出D点的坐标,如果不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，抛物线y=$-\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（-1，0），B（4，0），点D（m，n）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线与抛物线相交于点F，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）设△CBF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出当S最大时D点的坐标；
（3）是否存在点D，使△CDE∽△CEB？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）把点A（-1，0），B（4，0）的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；令x=0即可得到点C的纵坐标；
（2）利用三角形的面积公式得到S=-m²+4m，结合二次函数最值的求法进行解答；
（3）由相似三角形的对应角相等、平行线DE∥OC的性质以及锐角三角函数的定义求得m=1，再利用（2）中的$n=-\frac{1}{2}m+2$来求n的值，易得D点的坐标．

解答解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}-b+c=0\\-8+4b+c=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2$，
当x=0时，$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=2$，
∴C（0，2）；

（2）∵DE⊥x轴于E，D（m，n），
∴$tan∠DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{n}{4-m}=\frac{2}{4}$，即$n=-\frac{1}{2}m+2$．
当x=m时，$y=-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{3}{2}x+2=-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2$，
∴$DF=（-\frac{1}{2}{m^2}+\frac{3}{2}m+2）-（-\frac{1}{2}m+2）=-\frac{1}{2}{m^2}+2m$，
∴${S_{△CBF}}={S_{△CDF}}+{S_{△BDF}}=\frac{1}{2}DF•OE+\frac{1}{2}DF•BE=\frac{1}{2}DF•OB=-{m^2}+4m$，即S=-m²+4m，
∵-1＜0，0＜m＜4．
∴当$m=-\frac{4}{2×（-1）}=2$时，S最大，此时$n=-\frac{1}{2}m+2=1$，
∴当S最大时D点坐标为（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵∠ECD=∠BCE
∴当∠CED=∠CBE时，△CDE∽△CEB．
∵∠COB=∠DEB=90°．
∴DE∥OC，
∴∠OCE=∠CED=∠CBE．
∵$tan∠OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{m}{2}$，$tan∠CBE=\frac{OC}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，解得m=1．
∴$n=-\frac{1}{2}m+2=\frac{3}{2}$，D（1，$\frac{3}{2}$）．