Question

3．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D．已知∠APB=60°，AC=2，那么AD的长为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 连接AD，OB，OP，根据已知可求得AP，PC的长，再根据切割线定理得，PA²=PD•PC，从而可求得PD与AD的长．

解答 解：连接AD，OB，OP；
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠AOB=180°-∠P=120°，
∴∠AOP=60°，AP=AOtan60°=$\sqrt{3}$，
∴PC=$\sqrt{7}$；
∵PA²=PD•PC，
∴PD=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴AD=$\sqrt{A{P}^{2}-P{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查切线的性质、勾股定理、四边形的内角和为360°、切割线定理等知识，正确得出PD的长是解题关键．