Question

8．如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．
（1）若AD=1，求DC；
（2）求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 （1过点D作DH⊥BC于H，根据已知条件，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，得到DH=AD，在等腰直角三角形CDH中，求得CD；
（2）延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论．

解答 解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴DH=CH，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DH=AD=1，
∴CD=$\sqrt{2}$；
（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠EBF=∠ACF，
在△ABD和△ACF中$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ACF}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠CAF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
在△BCE和△BFE中$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠CBF}\\{BE=BE}\\{∠CEB=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴BD=2CE．

点评 本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．