题目内容
8．已知如图，在四边形ABCD中，AD=CD，M、N分别是BC、AB上的点．（1）如图①，若∠A=∠C=90°，∠B=∠MDN=60°．某同学在探究线段AN、MN、CM之间的数量关系时是这样的思路：延长BA到P，使AP=CM，连接PD（图1中虚线），通过研究图中有关三角形全等，再利用全等三角形的性质结合题中条件进行转化，从而得到结论．
这位同学在这个研究过程中：证明两对三角形分别全等的依据是SAS，SAS，得出线段AN、MN、CM之间的数量关系的结论是MN=AN+CM．
（2）如图②，若∠A+∠C=180°，其他条件不变，当AN、MN、CM之间满足（1）中的数量关系时，设∠B=α°，请求出∠MDN的度数（用α含的代数式表示）；
（3）如图③，我区某学校在庆祝“六一”儿童节的定向越野活动中，大本营指挥部设在点O处，甲同学在指挥部东北方向的E处，乙同学在指挥部南偏西75°的F处，且两位同学到指挥部的距离相等．接到行动指令后，甲同学以100米/分钟的速度向正西方向前进，乙同学以120米/分钟的速度向北偏西60°方向前进．10分钟后，指挥部监测到甲、乙两同学分别到达G、H处，且么∠GOH=75°，求此时甲、乙两同学之间的距离．
分析 （1）延长BA到P，使AP=CM，用SAS判断出△CDM≌△ADP，得到DM=DP，再判断出∠MDN=∠PDN，从而用SAS得出△DMN≌△DPN，即可；
（2）延长BA到P，使AP=CM，用SAS判断出△CDM≌△ADP，得到DM=DP，再判断出∠MDN=∠PDN，从而用SSS得出△DMN≌△DPN，即可；
（3）先求出∠A和∠EOF得出∠A+∠EOF=180°，然后用（1）的结论HG=HP=HF+FP，最后代值HF=1200米，FP=1000米，即可．
解答 解：（1）如图1，
延长BA到P，使AP=CM，连接PD，
∵∠BAD=∠C=90°，
∴∠DAP=90°，
在△CDM和△ADP中$\left\{\begin{array}{l}{CM=AP}\\{∠C=∠DAP}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△ADP（SAS），
∴DM=DP，∠CDM=∠ADP，
在四边形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，∠B=60°，
∴根据四边形的内角和得，∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠CDM+∠ADN=60°，
∵∠CDM=∠ADP，
∴∠MDN=∠PDN，
在△DMN和△DPN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DP}\\{∠MDN=∠PDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN=PN=AN+AP=AN+CM；
故答案为：SAS，SAS，MN=AN+CM
（2）如图2，
延长BA到P，使AP=CM，连接PD，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAP=180°，
∴∠C=∠DAP，
在△CDM和△ADP中$\left\{\begin{array}{l}{CM=AP}\\{∠C=∠DAP}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△ADP（SAS），
∴DM=DP，∠CDM=∠ADP，
∵CM=AP，
∴MN=AN+CM=AN+AP=PN，
在△DMN和△DPN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DP}\\{MN=PN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$
∴△DMN≌△DPN（SSS），
∴∠MDN=∠PDN=∠ADP+∠ADN，
∵∠CDM=∠ADP，
∴∠MDN=∠CDM+∠ADN=$\frac{1}{2}$∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠C=180°，
∴根据四边形的内角和得，∠B+∠ADC=180°，
∴∠B+2∠MDN=180°，
∵∠B=α，
∴∠MDN=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α．
（3）如图3，
延长EG，FH相较于点A，过点F作FN⊥AE，
∴乙同学以120米/分钟的速度向北偏西60°方向前进，
∴∠NFA=60°，
∴∠A=30°，
∵甲同学在指挥部东北方向的E处，乙同学在指挥部南偏西75°的F处，
∴∠DOE=45°，∠BOF=75°，
∴∠MOF=90°-75°=15°，
∴∠EOF=∠DOE+∠DOM+MOF=150°，
∴∠A+∠EOF=180°，
延长AF至点P，使FP=GE，
满足（1）的条件，则有HG=HP=HF+FP，
∵甲同学以100米/分钟的速度向正西方向前进，乙同学以120米/分钟的速度向北偏西60°方向前进．10分钟后，指挥部监测到甲、乙两同学分别到达G、H处，
∴GE=100×10=1000米，HF=120×10=1200米，
∴HG=HF+FP=1200+1000=2200米，
即：甲、乙两同学之间的距离为2200米．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了邻补角，全等三角形的性质和判定，方位角，结论的应用，构造全等三角形是解本题的关键，利用结论求甲、乙两同学之间的距离是解本题的难点．
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| A． | $\sqrt{x}$ | B． | $\sqrt{{x}^{2}+1}$ | C． | $\sqrt{{x^2}-2}$ | D． | $\root{3}{27}$ |
| A． | -2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | 2 | D． | $-\frac{1}{2}$ |
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | -$\sqrt{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ |