在?ABCD中.已知点A.B的坐标分别为.AD=4.以AD所在直线为x轴.A为坐标原点建立平面直角坐标系.将?ABCD绕A点按顺时针方向旋转90°得到?OB′C′D′(图1)．(1)写出C.B′.C′三点的坐标．(2)将?ABCD沿x轴向右以1个单位长度/秒的速度平行移动(图2).当C运动到y轴时.?ABCD停止运动．设移动后x秒.?ABCD与?OB′C′D′重叠部分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在?ABCD中，已知点A、B的坐标分别为（0，0）、（-1，2），AD=4，以AD所在直线为x轴，A为坐标原点建立平面直角坐标系，将?ABCD绕A点按顺时针方向旋转90°得到?OB′C′D′（图1）．
（1）写出C、B′、C′三点的坐标．
（2）将?ABCD沿x轴向右以1个单位长度/秒的速度平行移动（图2），当C运动到y轴时，?ABCD停止运动．设移动后x秒，?ABCD与?OB′C′D′重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）若?ABCD与?OB′C′D′同时从O点出发，都以1个单位长度/秒的速度，分别沿着x轴的正半轴、y轴的负半轴平行移动，设移动后x秒（图3），是否存在以B、D、B′为顶点的等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据旋转90°的特点解答即可；
（2）分五种情况来解；
（3）存在．分3种情况考虑．

解答：解：（1）C（-5，2）、B′（2，1）、C′（2，5）
（2）①当0≤x＜1时，OA=x，OE=2x，OD=

x
DE=2OD，∴y=

x×

②当1≤x＜2.5时，OA=x，OF=2，OD=

OD=2AD，∴y=

×(x-1+x)×2-

x×

=2x-1-

x2
③当2.5≤x＜3时，

OA=x，OF=OH=FM=MH=2
B′H=1，AH=x-2，GH=2x-4，MG=6-2x，BM=3-x
∴y=

(1+2)×2-

(3-x)(6-2x)=3-(3-x)2
④当3≤x＜4时，

OF=FG=2

B′G=1，∴y=

(1+2)×2=3
⑤当4≤x≤5时，

OD=x-4，DN=

ON=

KN=

(x-4)∴y=

(1+2)×2-

(x-4)2=3-

(x-4)2
（3）存在．
由题意知：B（-1+x，2）、D（-4+x，0）、B′（2，1-x）

由勾股定理得：BD²=3²+2²=13，BB'²=（x-3）²+（x+1）²=2x²-4x+10DB'²=（x-6）²+（x-1）²=2x²-14x+37
①当BD=DB′时，2x²-14x+37=13
x²-7x+12=0∴x₁=3，x₂=4
②当BD=BB′时，2x²-4x+10=132x²-4x-3=0x=

4±

16+24

=1±

∵x=1-

＜0（舍去）
③当BB′=DB′时，2x²-14x+37=2x²-4x+10
x=2.7
综上所述，分别当x=1+

，x=2.7，x=3，x=4时，存在以B、D、B′为顶点的等腰三角形．

点评：本题主要考查了四边形的综合题以及与平面直角坐标系的关系．本题要掌握平行四边形的性质以及等腰三角形的性质．