Question

如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：

 

；
（2）在图2中，若∠D=42°，∠B=38°，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：计算题

分析：（1）根据三角形内角和定理得到∠AOD=180°-∠A-∠D，∠BOC=180°-∠C-∠B，然后根据对顶角相等得到180°-∠A-∠D=180°-∠C-∠B，再整理得到∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）理由（1）中的结论得到∠1+∠2+∠D=∠3+∠4+∠B，∠1+∠D=∠3+∠P，再利用角平分线的定义得∠1=∠2，∠3=∠4，则2∠1+∠D=2∠3+∠B，由于2∠1+2∠D=2∠3+2∠P，利用等式的性质得到2∠P=∠B+∠D，即∠P=

1

2

（∠B+∠D），然后把∠D=42°，∠B=38°代入计算；
（3）与（2）的证明方法一样得到∠P=

1

2

（∠B+∠D）．

解答：解：（1）∵∠AOD=180°-∠A-∠D，∠BOC=180°-∠C-∠B，
而∠AOD=∠BOC，
∴180°-∠A-∠D=180°-∠C-∠B，
∴∠A+∠D=∠B+∠C；
故答案为∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）根据（1）知，∠1+∠2+∠D=∠3+∠4+∠B，∠1+∠D=∠3+∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠1+∠D=2∠3+∠B，
而2∠1+2∠D=2∠3+2∠P，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=

1

2

（∠B+∠D）=

1

2

（42°+38°）=40°；
（3）∠P=

1

2

（∠B+∠D）．理由与（2）一样．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．