Question

【题目】如图，的半径为，点、、、在上，且四边形是矩形，点是劣弧上一动点，、分别与相交于点、点．当且时，的长度为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP=∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ACP，进而得到AF=FC．根据矩形的四个角都是直角得∠ABC=90°，AE=EF=FD得FC=2FD，∠DCF=30°，得出∠ACB=30°，求出BC的长，AD的长，再三等分即可．

连接AC、BD．

∵PA=AB，∴∠ABP=∠APB．

∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，∴∠ACB=∠ACP．

∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ACP=∠DAC，∴AF=FC．

∵AE=EF=FD，设FD=x，则FC=AF=2x．

∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=90°，∴AC为⊙O的直径．

在Rt△DFC中，FC=2FD，∴∠DCF=30°，∴∠ACB=∠ACP=30°．

∵⊙O的半径为1，∴AC=2，∴AB=1，BC=，∴AD=BC=．

∵AE=EF=FD，∴AE=．