Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，PD切⊙O于点D．

（1）求证：DP⊥AP；

（2）若PD=，PC=1，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接BC、OD，则可判断OD∥AP，再由切线的性质可得∠OPD=90°，继而得出结论；

（2）连接OC、CD，由题意可得∠PDC=30°，∠CDO=60°．求出OD的长，∠COD的度数，根据S阴影=S梯形ODPC﹣S扇形OCD计算即可．

（1）连接BC、OD，则∠ACB=90°（圆周角定理）．

∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴OD∥AP．

又∵PD是⊙O切线，∴∠OPD=90°，∴∠P=90°，∴DP⊥AP．

（2）连接OC、CD．

∵PD=，PC=1，∴∠PDC==，CD==2，∴∠PDC=30°，∴∠CDO=60°．

∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠DOB=∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AO=OC=AC=OD=CD=2，则S阴影=S梯形ODPC﹣S扇形OCD=×（OD+CP）×PD﹣= =﹣π=﹣π．