Question

7．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC=$\frac{1}{2}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接圆心和切点，利用平行，OF⊥CB可证得∠ODF=90°；
（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD=2$\sqrt{5}$，CD=4$\sqrt{5}$，根据三角形的面积公式得到DH=$\frac{CD•BD}{BC}$=4，由勾股定理得到OH=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}$=3，根据射影定理得到OD²=OH•OE，求得OE=$\frac{25}{3}$，得到BE=$\frac{10}{3}$，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）过D作DH⊥BC于H，
∵⊙O的半径R=5，tanC=$\frac{1}{2}$，
∴BC=10，
设BD=k，CD=2k，
∴BC=$\sqrt{5}$k=10，
∴k=2$\sqrt{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，CD=4$\sqrt{5}$，
∴DH=$\frac{CD•BD}{BC}$=4，
∴OH=$\sqrt{O{D}^{2}-D{H}^{2}}$=3，
∵DE⊥OD，DH⊥OE，
∴OD²=OH•OE，
∴OE=$\frac{25}{3}$，
∴BE=$\frac{10}{3}$，
∵DE⊥AB，
∴BF∥OD，
∴△BFE∽△ODE，
∴$\frac{BF}{OD}=\frac{BE}{OE}$，即$\frac{BF}{5}=\frac{\frac{10}{3}}{\frac{25}{3}}$，
∴BF=2，
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解．