Question

17．关于x的一元二次方程x²+2ax+2b=0有两个根且乘积为正，关于y的一元二次方程y²+2by+2a=0，同样也有两个根且乘积为正，给出二个结论：①这两个方程的根都负根；②（a-1）²+（b-1）²≥2；其中结论正确是①②．

Answer 1

分析 ①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出a²-2b≥0以及b²-2a≥0，进而得解．

解答 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x₁•x₂=2b＞0，y₁•y₂=2a＞0，
y₁+y₂=-2b＜0，
x₁+x₂=-2a＜0，
这两个方程的根都为负根，①正确；
②由根判别式有：
△=4a²-8b≥0，△=4b²-8a≥0，
∵4a²-8b≥0，4b²-8a≥0，
∴a²-2b≥0，b²-2a≥0，
a²-2a+1+b²-2b+1=a²-2b+b²-2a+2≥2，
（a-1）²+（b-1）²≥2，②正确；
故答案为：①②．

点评 本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，综合运用知识是解答此题的关键．