Question

2．如图，正方形ABCD中，AB=2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为2$\sqrt{5}$-4．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AD=CD=2，∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，根据折叠的性质得到AF=AB=2，∠AFN=∠B=90°，根据相似三角形的性质得到NE=5-2$\sqrt{5}$，于是得到结论．

解答 解：∵在正方形ABCD中，AB=2，
∴AD=CD=2，∠D=∠B=90°，
∵E是CD中点，
∴DE=1，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵将正方形ABCD沿AM折叠，使点B的对应点F落在AE上，
∴AF=AB=2，∠AFN=∠B=90°，
∴EF=$\sqrt{5}$-2，∠NFE=90°，
∴∠D=∠NFE，
∵∠AED=∠NEF，
∴△ADE∽△NFE，
∴$\frac{AE}{NE}=\frac{DE}{EF}$，即$\frac{\sqrt{5}}{NE}$=$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$，
∴NE=5-2$\sqrt{5}$，
∴DN=DE-NE=2$\sqrt{5}$-4，
故答案为：2$\sqrt{5}$-4．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．